https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1984/Rika

2023.08.25記

[5] 各世代ごとに，各個体が，他の個体とは独立に，確率 $p$ で1個，確率 $1-p$ で2個の新しい個体を次の世代に残し，それ自身は消滅する細胞がある．いま，第 $0$ 世代に1個であった細胞が，第 $n$ 世代に $m$ 個となる確率を， $P_n(m)$ とかくことにしよう．

$n$ を自然数とするとき， $P_n(1)$ ， $P_n(2)$ ， $P_n(3)$
を求めよ．

2020.11.30記
細胞の数は単調非減少であることに着目する．

厳密には $p=0,1$ は別に考えないといけないが， $p=0,1$ のときは極限で考えることとし， $0^0=\displaystyle\lim_{p\to 0} p^0=1$ であるとする．

[解答]
$P_n(1)=p^n$ は明らか，

$P_n(2)$ は第 $i$ 世代（ $i=1,...,n$ ）に2個になった確率は
$p^{i-1}(1-p)(p^2)^{n-i}=(1-p)p^{2n-1}p^{-i}$
だから
$P_2(n)=(1-p)p^{2n-1}\cdot \dfrac{p^{-1}-p^{-n-1}}{1-p^{-1}}$ $=p^{n-1}(1-p^{n})$

$P_n(3)$ は第 $i$ 世代に2個になり，第 $j$ 世代（ $1\leqq i\lt j\leqq n$ ）に3個になった確率は
$p^{i-1}(1-p)(p^2)^{j-i-1}\{2p(1-p)\} (p^3)^{n-j}$ $=2(1-p)^2 p^{3n-2} p^{-i} p^{-j}$
だから，まず $j$ を $i+1$ から $n$ まで動かして
$2(1-p)^2 p^{3n-2} p^{-i} \cdot \dfrac{p^{-i-1}-p^{-n-1}}{1-p^{-1}}$
$=2(1-p) p^{3n-1} p^{-i} \cdot (p^{-n-1}-p^{-i-1})$
$=2(1-p) p^{2n-2} p^{-i}$ $- (1-p) p^{3n} p^{-2i-2})$
となり，次に $i$ を $1$ から $n-1$ まで動かして
$P_3(n)=2(1-p) p^{2n-2} \cdot \dfrac{p^{-1}-p^{-n}}{1-p^{-1}}$ $- 2(1-p) p^{3n-2} \cdot \dfrac{p^{-2}-p^{-2n}}{1-p^{-2}}$ $=2p^{2n-2}(p^{-n+1}-1) - 2p^{3n-2} \cdot \dfrac{p^{-2n+2}-1}{1+p}$
$=2p^{2n-2}(p^{-n+1}-1)$ $- 2p^{3n-2} \cdot \dfrac{(p^{-n+1}+1)(p^{-n+1}-1)}{1+p}$
$=2p^{2n-2}(p^{-n+1}-1) \Bigl\{1- p^{n} \cdot \dfrac{p^{-n+1}+1}{1+p}\Bigr\}$
$=2p^{2n-2}(p^{-n+1}-1) \cdot \dfrac{1-p^{n}}{1+p}$
$=\dfrac{2p^{n-1}(1-p^{n-1})(1-p^{n})}{1+p}$
となる．

2023.09.17記
$P_n(3)$ は $P_n(2)$ を利用して求めた方が速い．これは[解答]で先に $i$ を $1$ から $j-1$ まで動かした解法に対応している．

[別解]
$P_n(1)=p^n$ ，
$P_2(n)=(1-p)p^{2n-1}\cdot \dfrac{p^{-1}-p^{-n-1}}{1-p^{-1}}$ $=p^{n-1}(1-p^{n})$
は略．

$P_n(3)$ は第 $j-1$ 世代までに2個になっており，第 $j$ 世代（ $2\leqq j\leqq n$ ）に3個になった確率は
$P_{j-1}(2)\cdot 2p(1-p)\cdot (p^3)^{n-j}$
$=p^{j-2}(1-p^{j-1})\cdot 2p(1-p)\cdot (p^3)^{n-j}$
$=2p^{3n+1}(1-p)(p^{-2j-2}-p^{-j-3})$
だから， $j$ を $2$ から $n$ まで動かして
$P_3(n)=2p^{3n+1}(1-p)\left\{\dfrac{p^{-6}-p^{-2n-4}}{1-p^{-2}}-\dfrac{p^{-5}-p^{-n-4}}{1-p^{-1}}\right\}$
$=\dfrac{2p^{n-1}(1-p^{n-1})(1-p^{n})}{1+p}$
となる．