https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1984/Rika

2023.08.25記

[4] 空間内に， $3$ 点 $\mbox{P}\left(1,\dfrac{1}{2},0\right)$ ， $\mbox{Q}\left(1,-\dfrac{1}{2},0\right)$ ，
$\mbox{R}\left(\dfrac{1}{4},0,\dfrac{\sqrt3}{4}\right)$ を頂点とする正3角形の板 $S$ がある． $S$ を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転させたとき， $S$ が通過する点全体のつくる立体の体積を求めよ．

2020.11.28記

[大人の解答]
三角形を $yz$ 平面に正射影したあとに回転した円錐の体積と同じであるから，求める体積は $\dfrac{\pi}{3} \Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{48}$

まぁ、 $z=t$ で切った断面積が $\dfrac{4\pi}{3}\Bigl(\dfrac{\sqrt{3}}{4}-t\Bigr)^2$ となって，円錐の断面と同じになるからカヴァリエリから言えるという訳だ．