https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1983/Rika

2023.08.23記

[6] 放物線 $y=\dfrac{3}{4}-x^2$ を $y$ 軸のまわりに回転して得られる曲面 $\mbox{K}$ を，原点を通り回転軸と $45^{\circ}$ の角をなす平面 $\mbox{H}$ で切る．曲面 $\mbox{K}$ と平面 $\mbox{H}$ で囲まれた立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

カヴァリエリの原理
回転放物面でできる体積は円柱の半分

2020.11.24記

[大人の解答]
回転放物面の式は $y=\dfrac{3}{4}-x^2-z^2$ とかけ，平面の式 $y=x$ を引くと，求める体積は
$y=\dfrac{3}{4}-x^2-x-z^2=1-\Bigl(x+\dfrac{1}{2}\Bigr)^2-z^2$ と $xz$ 平面で囲まれる部分の体積に等しい．

これは、底面の半径が1の円，高さが1の円柱の体積の半分で $\dfrac{\pi}{2}$