1983年(昭和58年)東京大学-数学(理科)[2]

[2] 数列 において， であり， に対して は，次の条件(1)，(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという．

(1) は，，……， のどの項とも異なる．

(2) ，……， のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和が に等しくなることはない．

このとき， を で表し，その理由を述べよ．

[解答]
2進法で書いてみると
より だから，この2つからできる数は だから となる．
からできる7つの数は だから となる．
からできる15個の数は だから となる．

と帰納的に考えることにより となる．

[別解]
問題文から は全て自然数であり，
のうち少なくとも1つ選ぶ組み合わせでできる和の種類が全部で 種類で全て異なるから でなければならず，もし とできればそれが答えとなるが， は条件を確かに満たしているので，これが答となる．