https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1983/Bunka

2023.08.23記

[3] $xy$ 平面上で，曲線 $C:y=x^3+ax^2+bx+c$ 上の点 $\mbox{P}$ における接線 $l$ が， $\mbox{P}$ と異なる点 $\mbox{Q}$ で $C$ と交わるとする． $l$ と $C$ で囲まれた部分の面積と， $\mbox{Q}$ における接線 $m$ と $C$ で囲まれた部分の面積の比を求め，これが一定であることを示せ．

2020.11.28記
21世紀となっては有名な基本問題．

[解答]
図形全体を $X=x+\dfrac{a}{3}，Y=y$ によって平行移動すると， $C$ の式は $Y=X^3+b'X+c'$ となる．

$\rm Q$ における接線 $m$ と $C$ の交点を $\rm R$ とし， ${\rm P,Q,R}$ の $X$ 座標を $p,q,r$ とすると，解と係数の関係から
$2p+q=2q+r=0$ となり， $q=-2p，r=-2q=4p$ となる．よって $|q-p|:|r-q|=1:2$ となるので，
$l$ と $C$ で囲まれた部分の面積と $m$ と $C$ で囲まれた部分の面積の比は $|q-p|^4:|r-q|^4=1:16$ となる.