1983年(昭和58年)東京大学-数学(文科)

[1] 行列が表す 平面の1次変換 が，次の条件(1)，(2)をみたすとする．

(1) は，任意の三角形をそれと相似な三角形にうつす．

(2) は，点を点 にうつす．

このような行列 をすべて求めよ．

[2] 傾いた平面上で，もっとも急な方向の勾配(こうばい)（傾き）が であるという．いま南北方向の勾配を測ったところであった．東西方向の勾配はどれだけか．

[3] 平面上で，曲線 上の点 における接線 が， と異なる点 で と交わるとする． と で囲まれた部分の面積と， における接線 と で囲まれた部分の面積の比を求め，これが一定であることを示せ．

[4] 直線上に，赤と白の旗をもった何人かの人が，番号 ，，，…… をつけて並んでいる．
番号 の人は，赤と白の旗を等しい確率で無作為にあげるものとし，他の番号 の人は，番号 の人のあげた旗の色を見て，確率 で同じ色，確率 で異なる色の旗をあげるものとする．

このとき，番号 の人と番号 の人が同じ色の旗をあげる確率 を求めよ．