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1981年(昭和55年)東京大学-数学(理科)[5]

2023.08.22記

[5] $n\geqq3$ とし，正 $n$ 角錐(すい)の表面を，底面に含まれない $n$ 個の辺で切り開いて得られる展開図を考える．正 $n$ 角錐の頂点は，展開図においては，異なる $n$ 個の点になっている．ここでは，これら $n$ 個の点を通る円の半径が $1$ であるような，正 $n$ 角錐のみを考えることにする．

(1) 各 $n$ に対して，このような正 $n$ 角錐の体積の最大値 $v_n$ を求めよ．

(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}v_n$ を求めよ．

注：図は， $n=5$ の場合の，正 $n$ 角錐とその展開図の例である．

2020.11.25記

[解答]
展開図の外接円の中心は底面の外接円の中心と一致し，この中心から底面の5角形の各辺への距離を $x$ とすると，錐の高さは $\sqrt{(1-x)^2-x^2}=\sqrt{1-2x}$ である．

底面積は $nx^2\tan\dfrac{\pi}{n}$ だから体積は $\dfrac{n}{3}\tan\dfrac{\pi}{n}\sqrt{x^4(1-2x)}$ となる．

この最大値は相加相乗などから $x=\dfrac{2}{5}$ のとき最大値 $v_n=\dfrac{4n}{75\sqrt{5}}\tan\dfrac{\pi}{n}$ となる．

そしてこの極限は $\dfrac{4\pi}{75\sqrt{5}}$ である．

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