https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1981/Bunka

2023.08.22記

[3] $2$ つの放物線
$y=2x^2+1$ ……①
$y=-x^2+c$ ……②
の共通部分の方程式を求めよ．ただし $c$ は定数で， $c\lt 1$ をみたすものとする．

つぎに，共通接線と放物線①で囲まれた部分の面積を $S_1$ ，共通接線と放物線②で囲まれた部分の面積を $S_2$ としたとき， $\dfrac{S_1}{S_2}$ の値を求めよ．

本問のテーマ

放物線の相似

2020.11.26記

放物線の相似

[解答]
$y=2x^2+1$ を $-2$ 倍に拡大したものが $y=-x^2+c$ となるので， $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{1}{4}$

相似の中心は $\Bigl(0,\dfrac{c+2}{3}\Bigr)$ だから $y=2x^2+1$ の $x=t$ における接線 $y=4t(x-t)+2t^2+1=4tx-2t^2+1$ が相似の中心を通ることから $t=\pm\sqrt{\dfrac{1-c}{6}}$ となり，共通接線の方程式は $y=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}x+\dfrac{c+2}{3}$