https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1980/Rika

2023.08.22記

[3] $\alpha$ を実数， $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ とし，正整数 $n$ について $\begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} \alpha \\ 1 \end{pmatrix}$ とおく．

(1) ある $n$ について $q_n=0$ となるような $\alpha$ の値をすべて求めよ．

(2) すべての $n$ について $q_n \neq 0$ となるような $\alpha$ を考える．そのとき， $a_n=\dfrac{p_n}{q_n}$ を $\alpha$ を用いて表し，また， $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_n$ ，… の値のうちで異なるものの個数を求めよ．

2020.11.25記

[解答]
$A$ は $\sqrt{2}R(45^{\circ})$ （45度回転 $\sqrt{2}$ 倍拡大）

(1) ${\rm O}=(0,0)$ ， ${\rm E}=(1,0)$ ${\rm P}=(\alpha,1)$ とおくと $\angle\rm POE=0,\pm45^{\circ}$ だから
$\alpha=0,\pm 1$

(2) $p_0=\alpha$ から出発し，cot の加法定理 $\cot(\alpha+\beta)=\dfrac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}$ から $p_{n+1}=\dfrac{p_n-1}{p_n+1}$ ， $p_{n+2}=-\dfrac{1}{p_n}$ （ $90^{\circ}$ 回転）
を使って生成すると，周期4で
$p_{4n}=p_0=\alpha$ ， $p_{4n+1}=p_1=\dfrac{\alpha-1}{\alpha+1}$ ， $p_{4n+2}=p_2=-\dfrac{1}{\alpha}$ ， $p_{4n+3}=p_3=\dfrac{1+\alpha}{1-\alpha}$
となる．

これら値は原点と $\begin{pmatrix} p_n \\ q_n \end{pmatrix}$ を通る点の傾きの逆数であり，添字が1増える毎に直線は45度回転されることからこれら4つの値は全て異なる．

よって求める答は 4