1980年(昭和55年)東京大学-数学(理科)

[1] 辺の長さが の正三角形 の辺 ，， 上に，それぞれ点 ，， を となるようにとり，線分 と線分 の交点を，線分 と線分 の交点を，線分 と線分 の交点を とする． として，次の問に答えよ．

(1) ， を を用いて表せ．

(2) 三角形 の面積が三角形 の面積の になるような の値を求めよ．

[2] 長さ の線分 を直径とする球面 がある．点 において球面 に接する平面の上で， を中心とする半径 の四分円（円周の の長さをもつ円弧）と線分 をあわせて得られる曲線上を，点 が 周する．このとき，線分 と球面 との交点 の描く曲線の長さを求めよ．

[3] を実数，とし，正整数 について とおく．

(1) ある について となるような の値をすべて求めよ．

(2) すべての について となるような を考える．そのとき， を を用いて表し，また，，，…，，… の値のうちで異なるものの個数を求めよ．

[4] 平面上の動点 の座標 は，時刻 を用いて

（）と表されるものとする．ただし は正の定数である．このとき原点と との間の距離の2乗の最大値および最小値を， を用いて表せ．

[5] 辺の長さが の正四面体 がある．点 はこの正四面体の辺上を毎秒 の速さで動き，各頂点に達したとき，そこから出る 辺のうちの 辺を ずつの確率で選んで進む． は時刻 において頂点 にあるとする．また を0または正の整数とし，点 が時刻 において頂点 にある確率を
で表す（，，，）．

(1) 数学的帰納法を用いて， を証明せよ．

(2) と の値を求めよ．

[6] 平面の第1象限にある点 を頂点とし，原点 と 軸上の点 を結ぶ線分 を底辺とする二等辺三角形（）の面積を とする．この三角形と不等式 で表される領域との共通部分の面積を求め，これを の関数として表せ．