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2023.08.19記

[5] $t$ を正の数とし，次の条件(A)，(B) によって定まる $x$ の3次式を $f(x)$ とする．

(A) 曲線 $y=f(x)$ …(1) は直線 $y=x$ …(2) の上の $2$ 点 $\mbox{P}(-t,-t)$ ， $\mbox{O}(0,0)$ を通る．

(B) $f'(0)=0$ ， $f''(0)=2$

さて，曲線(1)と直線(2)との交点のうちで， $x$ 座標が最大のものを $\mbox{Q}$ とし，曲線(1)の点 $\mbox{O}$ から点 $\mbox{Q}$ までの部分と，線分 $\mbox{OQ}$ とで囲まれた領域の面積を $S(t)$ とする．このとき， $\displaystyle\lim_{t\to\infty}S(t)$ を求めよ．

本問のテーマ

マクローリン展開

2023.08.19記

[大人の解答]
(A)，(B)から $f(0)=0$ ， $f'(0)=0$ ， $f''(0)=2$ ， $f(-t)=-t$ となるので，
$f(x)=Ax^3+\dfrac{f''(0)}{2}x^2+f'(0)x+f(0)=Ax^3+x^2$
と書け， $f(-t)=-t$ から
$f(x)=\dfrac{t+1}{t^2}x^3+x^2$
となる． $y=f(x)$ と $y=x$ の交点の $x$ 座標は
$\dfrac{t+1}{t^2}x^3+x^2-x=0$ ，つまり
$(t+1)x^3+t^2x^2-t^2x=0$
の解であるから， $0,-t$ 以外に $-\dfrac{t^2}{t+1}-(-t)-0=\dfrac{1}{t+1}$ （ $s$ とおく）という正の解をもち，これらは $0,-t$ とは異なるので $\mbox{Q}$ の $x$ 座標である．

よって
$S(t)=\displaystyle\int_0^s (x-f(x))dx$
$=\displaystyle\int_0^s (x-x^2)dx-\dfrac{t+1}{t^2}\displaystyle\int_0^s x^3dx$
となる． $t\to\infty$ で $s\to 1$ だから
$\displaystyle\lim_{t\to\infty}S(t)$ $=\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)dx-0\cdot \displaystyle\int_0^1 x^3dx$
$=\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)dx$ $=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$

普通に $f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$ とおいても $f(0)=D=0$ ， $f’(0)=C=0$ ， $f''(0)=2B=2$ から直ちに
$f(x)=Ax^3+x^2$ が導けるので，マクローリン展開を知っていると有利かというと，それほどのものではない．

もちろん，答の予測がつくことは制限時間のある入試では有利であるけれど．