1979年(昭和54年)東京大学-数学(文科)

[1] 平面上の4点 ，，， を頂点とする正方形を とする．実数 に対して一次変換
，
，
を考え， が によって写された図形と， が によって写された図形との共通部分の面積を とする． が の範囲を動くとき， の関数 のグラフの概形を描き， のこの範囲での最大値を求めよ．

[2] 図のように，半径 の球が，ある円錐の内部にはめこまれる形で接しているとする．球と円錐面が接する点の全体は円をなすが，その円を含む平面を とする．円錐の頂点を とし， に関して と同じ側にある球の部分を とする．また， に関して と同じ側にある球面の部分および円錐面の部分で囲まれる立体を とする．

いま， の体積が球の体積の半分に等しいという．そのときの の体積を求めよ．

[3] ある硬貨を投げるとき，表と裏がおのおの確率 で出るものとする．この硬貨を 回くり返して投げ， 回目に表が出れば ，裏が出れば とし，…（）とおく．このとき次の確率を求めよ．

(1) かつ となる確率．

(2) かつとなる確率．

[4] を正の整数とし，数列 を次のように定める．
，，
，，，，…
このとき，数列 の項に の倍数が現れないために， のみたすべき必要十分条件を求めよ．