1978年(昭和53年)東京大学-数学(理科)

[1] 半径 の円 の周を 等分する点を図のように順次，，……，とする．弧 および半径 ， に接する円の中心を とし，この円 の周と線分 の交点を とする．線分 上に をみたすように点 を定める． を中心とし を半径とする円周と円 の交点のうちで，直径 に関し点 と同じ側にあるものを とする．

このとき四辺形 は平行四辺形であることを証明せよ．また弧 ，弧 ，弧 によって囲まれた領域（図の太線で囲まれた部分）の面積を求めよ．

[2] 二つの放物線 ……(1)，
……(2) は，
それらの交点の一つ で，接線が互いに直交しているものとする．このとき，放物線(2)は，， の値に無関係な一定の点 を通ることを証明し， の座標を求めよ．

[3] を放物線 とする． 上の点 を通り， における の接線と垂直な直線を， における の法線という．

(1) 平面上の点 で を通る の法線が一本だけ引けるようなものの存在範囲を求め， 平面上に図示せよ．

(2) (1)で求めた範囲と放物線の内部（不等式 の定める範囲）の共通部分の面積を求めよ．

[4] 行列 に対し，次の問に答えよ．

任意の整数 に対して， を数学的帰納法を用いて求めよ．また，与えられた に対し
（，，）
とおくとき，極限
，
を求めよ．
ただし とする．

[5] 三角形 において，各辺の長さを，，，と記す．いま辺 を 等分する点を ，，， とし， とする．このとき極限
を求め，これを ，， で表わせ．

[6] 平面において放物線 の， に対応する部分を とする．（すなわち である．）
点 における の接線が直線 ，直線 と交わる点をそれぞれ ， とする．また座標が ，， である三点を，それぞれ ， ，とする．以下つねに という範囲で考えるものとする．

(1) ， の面積をそれぞれ ， とするとき， となる の範囲を求めよ．

(2) 線分 および線分 と放物線の一部 で囲まれた範囲を とする．ただし はその周である線分 ， および を含むものとする．いま 上の点 を頂点とし， に含まれるような三角形のうちで，最大の面積を持つものの面積を とする．関数 を求め，そのグラフを描け．また の極値を求めよ．

ただし の点 で，関数 が極小値（または極大値）をとるとは， に近い のすべての点 に対して（または ）となることをいう．極大値と極小値をあわせて極値という．