https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1978/Bunka

2023.08.18記

[4] $xy$ 平面で点 $\mbox{P}(-3,6)$ を通り，曲線 $y=x^3-5x^2+x+9$ ……(1) に接する直線のうち，接点の $x$ 座標が $x\geqq 0$ をみたすものを $\mbox{PQ}$ ， $\mbox{PR}$ とする．ただしこれらの直線は点 $\mbox{Q}$ ， $\mbox{R}$ において曲線(1)に接するものとする．このとき曲線(1)の点 $\mbox{Q}$ から点 $\mbox{R}$ までの部分と，線分 $\mbox{PQ}$ ，線分 $\mbox{PR}$ で囲まれた領域の面積を求めよ．

本問のテーマ

「 $y$ の差」公式

2023.08.18記
まずは普通の解き方

[解答]
$y=x^3-5x^2+x+9$ の $x=t$ における接線の方程式は
$y=(3t^2-10t+1)(x-t)+t^3-5t^2+t+9$
であり，これが $(-3,6)$ を通るので
$6=(3t^2-10t+1)(-3-t)+t^3-5t^2+t+9$
が成立する．整理して
$(t+5)t(t-3)=0$
となるので接点の $x$ 座標が0以上のものは $t=0,3$ となる．
よって2つの接線は $y=x+9$ ， $y=-2x$ であり，接点は（どちらを $\mbox{Q}$ としても良いので）
$\mbox{Q}(0,9)$ ， $\mbox{R}(3,-6)$ となる．

よって求める面積は
$\triangle\mbox{OPQ}+\displaystyle\int_0^3(x^3-5x^2+3x+9)dx$
$=\dfrac{27}{2}+\dfrac{63}{4}$ $=\dfrac{117}{4}$

「 $y$ の差」公式

数学ショートプログラムの p.82-89 に詳細がある．本問に必要な部分だと

$y=f(x)=ax^3+\cdots$ と $(p,q)$ を通る直線 $y=l(x)$ が $x$ 座標が $\alpha,\beta,\gamma$ なる点（異なる3点でなくても良い）で交わるとき，
$f(x)-l(x)=a(x-\alpha)(x-=\beta)(x-\gamma)$
と因数分解できるので， $x=p$ における $y$ 座標の差 $f(p)-l(p)$ は
$f(p)-q=a(p-\alpha)(p-\beta)(p-\gamma)$
と $x$ 座標の差の積(に $a$ を乗じたもの)となる，

というものである．

[別解]
$(-3,6)$ を通る直線 $y=l(x)$ と $y=f(x)=x^3-5x^2+x+9$ が $x=t$ で接するとき，
$f(x)-l(x)=(x-t)^2(x-u)$
と因数分解できる． $x^2$ の係数から $5-2t+u=5$ だから
$f(x)-l(x)=(x-t)^2(x-5+2t)$
が成立する．ここで $x=-3$ を代入すると， $f(-3)=-66$ ， $l(-3)=6$ により
$-72=(-3-t)^2(2t-8)$
が成立する．整理して
$(t+5)t(t-3)=0$
となる（以下[解答]と同じ）．