1978年(昭和53年)東京大学-数学(文科)

[1] 半径 の円 の周を 等分する点を図のように順次，，……，とする．弧 および半径 ， に接する円の中心を とし，この円 の周と線分 の交点を とする．線分 上に をみたすように点 を定める． を中心とし を半径とする円周と円 の交点のうちで，直径 に関し点 と同じ側にあるものを とする．

このとき四辺形 は平行四辺形であることを証明せよ．また弧 ，弧 ，弧 によって囲まれた領域（図の太線で囲まれた部分）の面積を求めよ．

[2] 二つの放物線 ……(1)，
……(2) は，
それらの交点の一つ で，接線が互いに直交しているものとする．このとき，放物線(2)は，， の値に無関係な一定の点 を通ることを証明し， の座標を求めよ．

[3] の関数 の， という範囲における最大値を とする． が の範囲を動くとき，関数 を求め，そのグラフを描け．

[4] 平面で点 を通り，曲線 ……(1) に接する直線のうち，接点の 座標が をみたすものを ， とする．ただしこれらの直線は点 ， において曲線(1)に接するものとする．このとき曲線(1)の点 から点 までの部分と，線分 ，線分 で囲まれた領域の面積を求めよ．