https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1977/Rika

[4] 正方形 $S$ の頂点 $\mbox{A}_1$ ， $\mbox{A}_2$ ， $\mbox{A}_3$ ， $\mbox{A}_4$ がそれぞれ $xy$ 平面上の点 $(0,0)$ ， $(2,0)$ ， $(2,2)$ ， $(0,2)$ の位置にあるとき，点 $(1,a)$ の位置にある正方形 $S$ 内の点を $\mbox{P}$ とする．ただし， $0\leqq a\leqq 2$ とする．

正方形 $S$ が上の位置から出発し，第一象限内において $x$ 軸上をその正の向きに滑らずにころがって行くとき，点 $\mbox{P}$ が動いてできる曲線を $C$ とする．3直線 $x=1$ ， $x=9$ ， $y=0$ と曲線 $C$ とで囲まれる図形を， $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体を考え，その体積を $V(a)$ で表す．

$V(a)$ を $a$ の式で表せ． $a$ が $0\leqq a\leqq 2$ の範囲を動くとき， $V(a)$ が最小となる $a$ の値および $V(a)$ の最小値を求めよ．

本問のテーマ

シンプソンの公式（ケプラーの樽公式）
球台と球帽（球冠）の体積

2023.08.17記
ケプラーの樽公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
球台と球帽（球冠）の体積 - 球面倶楽部零八式 mark II

[うまい解答]
(i) 点 $\mbox{P}$ の描く図形は $x=5$ に関して対称であり， $1\leqq x\leqq 5$ では次図のようになる．

よって求める回転体の体積を $V$ とすると
$\dfrac{V}{2}$ $=\dfrac{\pi (1+a)}{6}(3a^2+3+(1+a)^2)$ $+\dfrac{\pi (3-a)}{6}(3+3(2-a)^2+(3-a)^2)$
$=\dfrac{\pi}{6}(4a^3+6a^2+6a+4)$ $+\dfrac{\pi}{6}(-4a^3+30a^2-78a+72)$
$=6\pi\left(a^2-2a+\dfrac{19}{9}\right)$
となり，
$V(a)=12\pi\left(a^2-2a+\dfrac{19}{9}\right)$
となる．

(ii) $V(a)=12\pi\left\{(a-1)^2+\dfrac{10}{9}\right\}$ だから $a=1$ で最小値 $\dfrac{40\pi}{3}$ をとる．