https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1977/Rika

[2] $xy$ 平面上の，原点 $\mbox{O}$ とは異なる2点 $\mbox{A}(a_1,a_2)$ ， $\mbox{B}(b_1,b_2)$ に対し， $\mbox{OA}=a$ ， $\mbox{OB}=b$ ， $\angle\mbox{AOB}=\theta$ とおく．2点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ の座標 $a_1$ ， $a_2$ ， $b_1$ ， $b_2$ が有理数であるとき次の $3$ 条件はたがいに同値であることを証明せよ．

(i) $ab$ は有理数である．

(ii) $\cos\theta$ は有理数である．

(iii) $\sin\theta$ は有理数である．

2023.08.17記

[解答]
$\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ は原点とは異なるので $ab\neq 0$ である．

三角形の面積公式から
$|a_1b_2-a_2b_1|=ab\sin\theta$ ，
内積公式から
$a_1b_1+a_2b_2=ab\cos\theta$
であり，
$|a_1b_2-a_2b_1|$ ， $a_1b_1+a_2b_2$
は有理数である．

よって $ab$ が有理数のとき（ $ab\neq 0$ ）から $\cos\theta$ ， $\sin\theta$ は有理数である．

また $\cos\theta$ が0でない有理数のとき，内積から $ab$ は有理数であり， $\cos\theta=0$ のときは $\sin\theta=\pm1$ であるから面積公式から $ab$ は有理数である．よって $\cos\theta$ が有理数のとき， $ab$ は有理数である．

同様に $\sin\theta$ が0でない有理数のとき，面積公式から $ab$ は有理数であり， $\sin\theta=0$ のときは $\cos\theta=\pm1$ であるから内積から $ab$ は有理数である．よって $\sin\theta$ が有理数のとき， $ab$ は有理数である．

以上から (i)，(ii)，(iii) は互いに同値である．