1977年(昭和52年)東京大学-数学(理科)

[1] を実数の定数とするとき， の関数 が の範囲でとる最大値を で表す． が実数全体を動くとき， が最小となる の値および の最小値を求めよ．

[2] 平面上の，原点 とは異なる2点 ，に対し，，，とおく．2点 ， の座標 ，，， が有理数であるとき次の 条件はたがいに同値であることを証明せよ．

(i) は有理数である．

(ii) は有理数である．

(iii) は有理数である．

[3] 平面上に，不等式で表される つの領域
，，
をとる．いま任意の点 に対し， を中心として ，， のどれか
少くとも つに含まれる円を考える．このような円の半径の最大値は点 によって定まるから，これを で表すことにする．

(i) 点 が から を除いた部分を動くとき， の動く範囲を求めよ．

(ii) 点 が平面全体を動くとき， の動く範囲を求めよ．

[4] 正方形 の頂点 ，，， がそれぞれ 平面上の点 ，，， の位置にあるとき，点 の位置にある正方形 内の点をとする．ただし， とする．

正方形 が上の位置から出発し，第一象限内において 軸上をその正の向きに滑らずにころがって行くとき，点 が動いてできる曲線を とする．3直線，，と曲線 とで囲まれる図形を， 軸のまわりに1回転してできる立体を考え，その体積を で表す．

をの式で表せ． が の範囲を動くとき， が最小となる の値および の最小値を求めよ．

[5]（新課程）， と書く．行列 と実数 に対し
という関係が成り立つとき，，，， を の式で表せ．

また が実数全体を動くとき，関係で定まる点 が動いてできる図形を求め，これを図示せよ．

[5]（旧課程），，，， を正の数とする．図のように円に内接する 角形 で， に対し角 の大きさが となるものが存在するためには，
，，，，，
が同時に成り立つことが必要かつ十分であることを証明せよ．

[6]（新課程）座標の定められた空間において，直線 は 点 ， を通り，直線 は 点 ， を通る．

(i) を含み に平行な平面の方程式を の形に表せ．

(ii) 点 を通り ， の両方と交わる直線を とする． と の交点および と の交点を求めよ．

[6]（旧課程） を正の定数とし， の範囲で関数 を考える．

(i) の最大値，最小値を求めよ．

(ii) の値の変化に応じて， のグラフの変曲点の個数はどのように変化するか．また，この個数の変化に応じて， のグラフの凹凸はどのように変化するか．