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1977年(昭和52年)東京大学-数学(文科)[4]旧課程

[4]（旧課程） $a$ を実数の定数とするとき， $a\cos 2\theta-4(a-2)\cos\theta-a+4=0$ をみたす相異なる $\theta$ は， $0\leqq\theta\lt 2\pi$ の範囲にいくつあるか．

2023.08.18記

[解答]
与えらえた式は
$a(\cos^2\theta-2\cos\theta-1)+2(2\cos\theta+1)=0$
となる．

(i) $a=0$ のとき $2\cos\theta+1=0$ から $\theta$ は $0\leqq\theta\lt 2\pi$ の範囲に2個．

(ii) $a\neq 0$ のとき
与えらえた式は
$\cos^2\theta-2\cos\theta+1=-\dfrac{2}{a}(2\cos\theta+1)+2$
となるので， $x=\cos\theta$ とおき， $X=x-1$ とおくと
放物線 $C:\,Y=x^2-2x+1=X^2$
と
直線 $l:\,Y=-\dfrac{2}{a}(2x+1)+2$ $=-\dfrac{4}{a}\left(X+\dfrac{3}{2}\right)+2$
の $-2\leqq X\leqq 0$ における交点の個数を数えれば良い．

ここで $X$ に対する $\theta$ の個数は $X=-2，0$ のとき1個，それ以外のときは2個になることに注意する．……（★）

また， $C$ と $l$ が接するのは $a=1$ （接点 $(-2,4)$ ）と $a=1$ （接点 $(-1,1)$ ）であり， $l$ が $(0,0)$ を通るのが $a=3$ であることに注意すると

(a) $a\lt 0$ のとき $-\dfrac{3}{2}\lt X\lt -\sqrt{2}$ の範囲に解を 1 つだけ持つので $X$ は1個，つまり $\theta$ は2個

(b) $0\lt a\lt 1$ のとき $-2\lt X \lt -\dfrac{3}{2}$ の範囲に解を 1 つだけ持つので $X$ は1個，つまり $\theta$ は2個

(c) $a=1$ のとき $X=-2$ という解を 1 つだけ持つので（★）により $\theta$ は1個

(d) $1\lt a\lt 2$ のとき解なしなので $\theta$ は0個

(e) $a=2$ のとき $X=-1$ という解を 1 つだけ持つので $\theta$ は2個

(f) $2\lt a\lt 3$ のとき $-\sqrt{2}\lt X \lt -1$ と $-1\lt X \lt 0$ の範囲に解を 1つずつ持つので $X$ は2個，つまり $\theta$ は4個

(g) $a=3$ のとき $-\sqrt{2}\lt X \lt -1$ の範囲に解を 1個持ち， $X=0$ という解を持つので（★）により $\theta$ は3個

(h) $3\lt a$ のとき $-\sqrt{2}\lt X \lt -1$ の範囲に解を 1つだけ持つので $\theta$ は2個

となる．以上をまとめて

$a\lt 1$ のとき2個，
$a=1$ のとき1個，
$1\lt a\lt 2$ のとき0個，
$a=2$ のとき2個，
$2\lt a\lt 3$ のとき4個，
$a=3$ のとき3個，
$3\lt a$ のとき2個

となる．

理系の範囲で解くなら，
$y=-\dfrac{4x+2}{x^2-2x-1}$ と $y=a$ の交点の個数を数え， $x$ に対する $\theta$ の個数が $x=\pm 1$ のとき1個，それ以外のときは2個になることに注意して $\theta$ の個数を数えれば良い．

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