https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1976/Rika

2023.08.12記

[1] 負でない実数 $r$ ， $l$ に対して， $xy$ 平面上の曲線
$y=\left\{\begin{array}{ll} x^2 & (0 \leqq x \leqq r) \\ r^2 & (r \leqq x \leqq l+r) \\ (x-l-2r)^2 & (l+r \leqq x \leqq l+2r) \end{array}\right.$
を考え，
これを $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を $V$ とする． $r^2$ と $l$ の和が正の定数 $c$ になるように $r$ と $l$ を変化させるとき，
$V$ の最大値を与えるような $r$ と $l$ の値を求めよ．

2023.08.15記

[解答]
図形が $x=r+\dfrac{l}{2}$ に関して対称だから
$V=2\cdot\pi\displaystyle\int_0^r x^4 dx+\pi (r^2)^2 (c-r^2) :=\pi f(r)$
である．このとき
$f'(r)=-2r^3(3r^2-r-2c)$
であり， $r\gt 0$ から $f'(r)=0$ となる $r$ は $r=\dfrac{1+\sqrt{1+24c}}{6}$ である．

今， $l\geqq 0$ より $r\leqq\sqrt{c}$ であり， $\dfrac{1+\sqrt{1+24c}}{6}\leqq c\Longleftrightarrow 1\leqq c$ であるから

(i) $c\geqq 1$ のとき $r=\dfrac{1+\sqrt{1+24c}}{6}$ で最大値 $l=c-r^2=\dfrac{c-r}{3}=\dfrac{6c-1-\sqrt{1+24c}}{18}$

(ii) $c\leqq 1$ のとき $r=\sqrt{c}$ で最大値 $l=0$