https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1975/Rika

2023.08.11記

[1] 三角形 $\mbox{ABC}$ において， $\mbox{BC}=32$ ， $\mbox{CA}=36$ ， $\mbox{AB}=25$ とする．この三角形の二辺の上に両端をもつ線分 $\mbox{PQ}$ によって，この三角形の面積を二等分する．そのような $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる場合の， $\mbox{P}$ と $\mbox{Q}$ の位置を求めよ．

本問のテーマ

双曲線の接線と漸近線でできる三角形の面積
（ヘロンの公式）

2026.02.16記

[2023.08.11記の誤答1]
まず一般の三角形について考える．
$\mbox{XY}=z$ ， $\mbox{YZ}=x$ ， $\mbox{ZX}=y$ の三角形に対して $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を $\mbox{XY}$ ， $\mbox{XZ}$ 上にとり， $\mbox{XP}=p$ ， $\mbox{XQ}=q$ とおくと，線分 $\mbox{PQ}$ が $\triangle\mbox{XYZ}$ の面積を二等分するので $pq=\dfrac{yz}{2}$ であり，余弦定理により
$\mbox{PQ}^2=p^2+q^2-2pq\cos X$ $=(p-q)^2+yz(1-\cos X)=\dfrac{x^2-(y-z)^2}{2}$ $=(p-q)^2+\dfrac{(x+y+z-2y)(x+y+z-2z)}{2}$
であるから， $\mbox{PQ}$ は $p=q=\sqrt{\dfrac{yz}{2}}$ のときに最小となる．ここで最小値
$\dfrac{(x+y+z-2y)(x+y+z-2z)}{2}$
を最小にするには， $y$ ， $z$ を大きくすれば良いので， $x$ が $\triangle\mbox{ABC}$ の最小辺 $\mbox{AB}$ となるようにすれば良い．

つまり， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあり， $\mbox{CP}=\mbox{CQ}=\sqrt{\dfrac{32\cdot36}{2}}=24$ のときに $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる．

$\min\{y，z\}\lt\sqrt{\dfrac{yz}{2}}$ のとき（ $2y\lt z$ または $2z\lt y$ のとき）は $p=q=\sqrt{\dfrac{yz}{2}}$ とはなれないので誤答（論証不十分）です．

[解答]
まず一般の三角形について考える．
$\mbox{XY}=z$ ， $\mbox{YZ}=x$ ， $\mbox{ZX}=y$ の三角形に対して $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を $\mbox{XY}$ ， $\mbox{XZ}$ 上にとり， $\mbox{XP}=p$ ， $\mbox{XQ}=q$ とおくと，線分 $\mbox{PQ}$ が $\triangle\mbox{XYZ}$ の面積を二等分するので $pq=\dfrac{yz}{2}$ であり，余弦定理により
$\mbox{PQ}^2=p^2+q^2-2pq\cos X$ $=(p-q)^2+yz(1-\cos X)=\dfrac{x^2-(y-z)^2}{2}$ $=(p-q)^2+\dfrac{(x+y+z-2y)(x+y+z-2z)}{2}$
であるから，
$\mbox{PQ}^2\geqq\dfrac{(x+y+z-2y)(x+y+z-2z)}{2}$ …①
（等号が成立するとは限らない）が成立する．よって $\{x，y，z\}=\{32，36，25\}$ ならば①の右辺は $x=25，\{y，z\}=\{32，36\}$ のときに最小となる．このとき $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が半直線 $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあり，
$\mbox{PQ}^2\geqq\dfrac{21\cdot 29}{2}$ …②
を満たす．②の等号は $p=q=\sqrt{\dfrac{32\cdot36}{2}}=24$ ，つまり $\mbox{CP}=\mbox{CQ}=24$ のときに成立し，このとき確かに $\mbox{P}，\mbox{Q}$ は線分 $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあるので適する．

よって， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあり， $\mbox{CP}=\mbox{CQ}=24$ のときに $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる．

$\min\{y，z\}\geqq x$ のとき，三角形の成立条件から $2y\geqq x+y\gt z$ ， $2z\geqq x+z\gt y$ が成立するので必ず $p=q=\sqrt{\dfrac{yz}{2}}$ となることができます．つまり，

三角形 $\mbox{ABC}$ の周上に異なる $2$ 点 $\mbox{P}，\mbox{Q}$ をとり，線分 $\mbox{PQ}$ によってこの三角形の面積を二等分するとき， $\mbox{PQ}$ の長さが最短になるのは，線分 $\mbox{PQ}$ が三角形 $\mbox{ABC}$ の内角のうち最小のものを頂角とする二等辺三角形となる場合である．

が成立します．

[2023.08.11記の誤答2]
まず一般の三角形について考える．
$\mbox{XY}=z$ ， $\mbox{YZ}=x$ ， $\mbox{ZX}=y$ の三角形に対して $\triangle\mbox{XYZ}=\dfrac{yz}{2}\sin X$ である．

つまり， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあり， $\mbox{CA}=\mbox{CB}=\sqrt{\dfrac{32\cdot36}{2}}=24$ のときに $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる．

[別解]
まず一般の三角形について考える．
$\mbox{XY}=z$ ， $\mbox{YZ}=x$ ， $\mbox{ZX}=y$ の三角形に対して $\triangle\mbox{XYZ}=\dfrac{yz}{2}\sin X$ である．

$\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ を $\mbox{XY}$ ， $\mbox{XZ}$ 上にとり， $\mbox{XP}=p$ ， $\mbox{XQ}=q$ とおくと，線分 $\mbox{PQ}$ が $\triangle\mbox{XYZ}$ の面積を二等分するので $pq=\dfrac{yz}{2}$ であり，余弦定理により
$\mbox{PQ}^2=p^2+q^2-2pq\cos X$ $=(p-q)^2+yz(1-\cos X)$ $=(p-q)^2+2\triangle\mbox{XYZ}\cdot\dfrac{1-\cos X}{\sin X}$ $=(p-q)^2+2\triangle\mbox{XYZ}\cdot\tan\dfrac{X}{2}$
であるから，
$\mbox{PQ}^2\geqq 2\triangle\mbox{XYZ}\cdot\tan\dfrac{X}{2}$ …①
（等号が成立するとは限らない）が成立する．この右辺は $\tan\dfrac{X}{2}$ が小さい程小さいので，三角形の内角である $\dfrac{X}{2}$ が鋭角であることに注意すると， $X$ が三角形の内角で最小，つまり $x$ が三角形の最小辺のとき（ $x=25$ のとき）に最小となる．このとき $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が半直線 $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあり，①の等号は $p=q=\sqrt{\dfrac{32\cdot36}{2}}=24$ ，つまり $\mbox{CP}=\mbox{CQ}=24$ のときに成立するが，このとき確かに $\mbox{P}，\mbox{Q}$ は線分 $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあるので適する．

よって， $\mbox{P}$ ， $\mbox{Q}$ が $\mbox{CA}$ ， $\mbox{CB}$ 上にあり， $\mbox{CP}=\mbox{CQ}=24$ のときに $\mbox{PQ}$ の長さが最短になる．

なお，このような線分 $\mbox{PQ}$ の包絡線は双曲線となり，線分 $\mbox{PQ}$ と包絡線は $\mbox{PQ}$ の中点で接することは有名である．

1967年(昭和42年)京都大学-数学(理系)旧課程[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1968年(昭和43年)一橋大学-数学[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2005年(平成17年)東京大学後期-数学[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
1999年(平成11年)東京工業大学-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
ヘロンの公式の変な証明 - 球面倶楽部零八式 mark II
も参照してください．