https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1974/Rika

2023.08.11記

[6] あるスポーツにおいて， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ 二チームが試合をして，さきに三回勝った方を優勝とする．一回の試合で $\mbox{A}$ が勝つ確率を $p$ ， $\mbox{B}$ が勝つ確率を $q$ （ $p+q=1$ ， $p\gt 0$ ， $q\gt 0$ ）とする．このとき， $\mbox{A}$ が優勝する確率を $P$ ， $\mbox{B}$ が優勝する確率を $Q$ とし，また，優勝チームがきまるまでの試合数を $N$ として，次の問に答えよ．

(1) $p\gt q$ のとき， $P-Q$ と $p-q$ とはどちらが大きいか．

(2) $P-p$ を最大にする $p$ の値を求めよ．

(3) $N$ の期待値を最大にする $p$ の値およびそのときの $N$ の期待値を求めよ．

2023.08.11記

[解答]
$P=p^3+{}_3\mbox{C}_1 p^3q+{}_4\mbox{C}_2 p^3q^2$ $=p^3+3p^3q+6p^3q^2$ ，
$Q=q^3+3pq^3+6p^2q^3$
である．

(1) $P-Q$ $=(p-q)\{p^2+pq+q^2+3pq(p+q)+6p^2q^2\}$
である．ここで $p+q=1$ より
$=p^2+pq+q^2+3pq(p+q)+6p^2q^2$ $=1+2pq+6p^2q^2\geqq 1$
であり， $p-q\gt 0$ より $P-Q\gt p-q$ となる．

(2) $P-p=p^3+3p^3q+6p^3q^2-p$
$=p^3+3p^3(1-p)+6p^3(1-p)^2-p$
$=6p^5-15p^4+10p^3-p=:f(p)$
である．よって
$f'(p)=30p^4-60p^3+30p^2-1=30p^2(p-1)^2-1$
となり， $0\lt p\lt 1$ より $p(1-p)\lt 0$ だから
$f'(p)=0$ なる $p$ は
$\sqrt{30}p(p-1)=-1$ ，
つまり $\sqrt{30}p^2-\sqrt{30}p+1=0$ をみたす．この解の前後で $f'(p)$ の符号を正から負に変える値は
$p=\dfrac{\sqrt{30}+\sqrt{30-4\sqrt{30}}}{2\sqrt{30}}$
である．

(3) $N$ の期待値は
$3(p^3+q^3)+4(3p^3q+3pq^3)+5(6p^3q^2+6p^2q^3)$
$=3(1-3pq)+12(pq-2p^2q^2)+30p^2q^2$
$=6p^2q^2+3pq+3$
であり， $0\lt pq\leqq\dfrac{1}{4}$ （右の等号は $p=q=\dfrac{1}{2}$ ）であるから， $N$ の期待値は $p=\dfrac{1}{2}$ のとき最大値 $\dfrac{33}{8}$ （ $=4.125$ ）をとる．