https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1972/Rika

2023.08.09記

[4] たがいに外接する定円 $\mbox{C}$ ， $\mbox{C}'$ が共通接線 $l$ の同じ側にあるとする．
図（省略）のように
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}'$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_1$ ，
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}_1$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_2$ ，
$\cdots\cdots$
$\mbox{C}$ ， $\mbox{C}_{n-1}$ ， $l$ に接する円を $\mbox{C}_n$
とする．
このとき円 $\mbox{C}_n$ の半径を $r_n$ として，
極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2r_n$ を，
円 $\mbox{C}$ の半径 $\mbox{R}$ と円 $\mbox{C}'$ の半径 $\mbox{R}'$ とを用いてあらわせ．

2023.08.09記

[解答]
互いに外接する2円が共通接線の同じ側にあるとしたとき，
2円の半径を $a,b$ とし，共通接線との接点の間の距離を $c$ とおくと
$c^2+|a-b|^2=(a+b)^2$
が成立するので， $c=2\sqrt{ab}$ となる．

$r_0=\mbox{R}'$ とおくと， $n=1,2,\ldots$ において
$2\sqrt{\mbox{R}r_n}+2\sqrt{r_nr_{n-1}}=2\sqrt{\mbox{R}r_{n-1}}$
が成立するので，
$\dfrac{1}{\sqrt{r_n}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{r_{n-1}}}$ $+\dfrac{1}{\sqrt{\mbox{R}}}$
となる．よって
$\dfrac{1}{\sqrt{r_n}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{r_0}}$ $+\dfrac{n}{\sqrt{\mbox{R}}}$
となり，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{r_n}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n\sqrt{r_0}}+\dfrac{1}{\sqrt{\mbox{R}}}\right)$ $=\dfrac{1}{\sqrt{\mbox{R}}}$
よって
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^2r_n=\mbox{R}$