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2024.02.24記

[1] 次の文を読んで後の設問に答えよ．

$k$ を $2$ から $10$ までの任意の整数とするとき，正の整数はすべて
$a_n \times k^n + … + a_1 \times k + a_0$
のように書くことができる．ただし， $a_0$ ， $a_1$ ，…， $a_n$ を $0$ から $k-1$ までの整数とする．したがって，上の式で書かれる数を
$a_n … a_1 a_0$
のように，数字 $a_0$ ， $a_1$ ，…， $a_n$ の単なる配列で表わすことができる．10進法というのは， $k$ を $10$ にとったときのことであるが， $k$ を $2$ にとればこれは2進法といわれる記数法になる．

設問

(1) $10$ 進法で $365$ と書かれる数を $2$ 進法で書けばどうなるか．

(2) $2$ 進法で $101101$ と書かれる数と $1011$ と書かれる数との積は $2$ 進法でどのように書かれるか．

(3) 正の整数 $x$ が $2$ 進法で書かれているとき，それを右から $3$ 行ずつ区切っていき， $2$ 進法で各区切りの表わす数 $y_0$ ， $y_1$ ， $…$ ， $y_m$ を考える．もしこれらの和 $y_m+… +y_1+y_0$ が $7$ で割りきれるならば， $x$ も $7$ で割りきれることを証明せよ．

本問のテーマ

7で割った余りの求め方( $1001\equiv 0 (\mod 7)$ の利用)

2024.02.24記

[解答]
(1) 101101101

(2) 111101111

(3) $x=y_0+y_1\cdot8+…+y_m\cdot8^m$ となるが，
$8^k\equiv 1$ （mod 7）により
$x-(y_0+y_1+…+y_m)=\displaystyle\sum y_k(8^k-1)\equiv 0$ （mod 7）
となり， $y_m+… +y_1+y_0$ が $7$ で割りきれるならば， $x$ も $7$ で割りきれる．