https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1968/Rika

2020.09.29記

[6] 次の問い(i)，(ii)，(iii) に答えよ．

(i) $\alpha$ が $0\lt \alpha \lt 1$ を満たす有理数ならば，区間 $0\leqq x\leqq 1$ の上で不等式 $1+\dfrac{\alpha}{2}x\leqq (1+x)^{\alpha}$ が成り立つことを示せ．

(ii) $2^{200}$ のけた数はいくつか．またその最上位の数は何か．その理由を述べよ．

注1．たとえば $2^{10}=1024$ のけた数は $4$ ，最上位の数は $1$ である。なおこの数が $10^3$ に近いことに注意せよ。

注2． $\log_{10} 2≒0.3010$ であるが，この数値を証明に用いてはならない．

(iii) $0.300\lt \log_{10} 2 \lt 0.302$ であることを示せ．

2024.02.23記

[解答]
(i) $\alpha$ を固定し，
$f(x)=(1+x)^{\alpha}-\left(1+\dfrac{\alpha}{2}x\right)$
とおくと， $0\leqq x\leqq 1$ で
$f'(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}-\dfrac{\alpha}{2}$
$f'(x)=\alpha\left\{\dfrac{1}{(1+x)^{1-\alpha}}-\dfrac{1}{2}\right\}$
$\gt\alpha\left\{\dfrac{1}{(1+x)^{1}}-\dfrac{1}{2}\right\}$
$\geqq\alpha\left\{\dfrac{1}{(1+1)^{1}}-\dfrac{1}{2}\right\}=0$
だから
$f(x)\geqq f(0)=0$
となる．

(ii) $\alpha=0.048$ とおくと
$1\lt \dfrac{2^{10}}{10^3}=1+\dfrac{\alpha}{2}\cdot 1$ $\leqq (1+1)^{\alpha}=2^{\alpha}$
であるから，
$1\lt \dfrac{2^{200}}{10^{60}}\leqq 2^{20\alpha}=2^{0.96}\lt 2$
が成立するので， $2^{200}$ のけた数は $61$ で，その最上位の数は $1$ である．

(iii) (ii)により，
$60\lt 200\log_{10} 2 \lt 60+\log_{10} 2$
であるから，
$0.3=\dfrac{60}{200} \lt \log_{10} 2 \lt \dfrac{60}{199}=0.301…$
となり，
$0.300\lt \log_{10} 2 \lt 0.302$ であることが示された．

[別解]
(1) $x$ を固定し，
$g(\alpha)=(1+x)^{\alpha}-\left(1+\dfrac{\alpha}{2}x\right)$
として $\alpha$ を実数として $0\lt\alpha\lt 1$ で動かすことを考える．

$x=0$ のとき， $g(\alpha)\equiv 0$ となり成立するので，以下 $0\lt x\leqq 1$ とする．

$g'(\alpha)=(1+x)^{\alpha}\cdot \log (1+x)+\dfrac{x}{2}\gt 0$
だから， $0\lt \alpha \lt 1$ で
$g(\alpha)\gt \displaystyle\lim_{\alpha\to +0} g(\alpha)=0$
が成立する．