https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1968/Rika

2020.09.29記

[3] $\alpha，\beta$ は与えられた実数とする． $x$ の2 次式
$f(x)=ax^2+bx+c$
の係数 $a，b，c$ が $a+b+c=0$ なる関係式を満たしながら動くとき，座標 $(f(\alpha)，f(\beta))$ をもつ点の全体は，平面上のどんな集合になるか．

2024.02.23記
問題文の意味がわかりにくいだろう． $a+b+c=0$ は $f(1)=0$ を意味するので例えば $\alpha=1，\beta=1$ と与えられた場合，座標 $(f(\alpha)，f(\beta))$ は原点にしかならないので求める集合は原点となる．また例えば $\alpha=1，\beta=0$ と与えられた場合，座標 $(f(\alpha)，f(\beta))=(0,c)$ は任意の $c$ に対して $a=1，b=-1-c$ のように $a，b$ を選ぶことができるので，求める集合は $y$ 軸全体となる．

[解答]
$a+b+c=0$ なる関係式は $f(1)=0$ を表す．

ここで $f(\alpha)=A$ ， $f(\beta)=B$ をみたす $(A，B)$ が存在するための必要十分条件は $(1，0)$ ， $(\alpha，A)$ ， $(\beta，B)$ を通る2次関数（ $a\neq 0$ ）が存在することであるから，

「この3点が互いに全て異なり，かつ同一直線上にある」ではない…(★)

ことである．よって

(i) $\alpha=\beta=1$ のとき
$(f(\alpha)，f(\beta))=(0，0)$ は原点

(ii) $\alpha=1，\beta\neq 1$ のとき
$(f(\alpha)，f(\beta))=(0，B)$ は(★)をみたすので任意の $B$ に対して2次関数が存在するので，求める集合は $y$ 軸全体

(iii) $\alpha=\neq 1，\beta=1$ のとき
$(f(\alpha)，f(\beta))=(A,0)$ について(ii) と同様に考えて求める集合は $x$ 軸全体

(iv) $\alpha=\beta\neq 1$ のとき
$(f(\alpha)，f(\beta))=(A,A)$ （ $B=A$ ）について(ii) と同様に考えて求める集合は $y=x$ 軸全体

(v) $\alpha，\beta，1$ が3つの異なる実数のとき
$(1，0)$ ， $(\alpha，A)$ ， $(\beta，B)$ が同一直線上にないことから $A:B\neq (\beta-1):(\alpha-1)$ をみたすので $xy$ 平面から
直線 $(\beta-1)x-(\alpha-1)y\neq 0$ を除いたもの

となる．