1968年(昭和43年)東京大学-数学(理科)

[1] 平面上の点 で

を満たす範囲が，直線 によって面積の等しい2 つの部分に分けられるように， の値を定めよ．

[2] 正方形 を底面とし，を頂点とする正四角錐（すい）において，底面と斜面のなす二面角が のとき，となりあう2 つの斜面のなす二面角を求めよ．

[3] は与えられた実数とする． の2 次式

の係数 が なる関係式を満たしながら動くとき，座標 をもつ点の全体は，平面上のどんな集合になるか．

[4] を空間の直交座標とし，点 を通り 軸に平行な直線を とする．-平面内にあって で表わされる曲線の なる部分を，直線 のまわりに回転してできる曲面と，平面 および とによって囲まれた部分の体積を求めよ．

[図]

[5] 整数を係数とする次数3 の多項式 で，次の条件を満たすものを求めよ．

(1) のグラフは原点に関して対称である．

(2) は重根をもたない．

(3) は極大値も極小値ももたない．

(4) は整数である．

(5) である．

[6] 次の問い(i)，(ii)，(iii) に答えよ．

(i) が を満たす有理数ならば，区間 の上で不等式 が成り立つことを示せ．

(ii) のけた数はいくつか．またその最上位の数は何か．その理由を述べよ．

注1．たとえば のけた数は ，最上位の数は である。なおこの数が に近いことに注意せよ。

注2． であるが，この数値を証明に用いてはならない．

(iii) であることを示せ．