https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1967/Rika_5

[5](新課程) $y=ax^2$ のグラフが $y=\log_ex$ のグラフに接するように定数 $a$ の値を定めよ．なお，そのときこれらのグラフと $x$ 軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

2019.04.15記
$s=\dfrac{1}{e} t$ と $s=\log_et$ が接するのは有名。 $t=x^2，s=2y$ とおくと、 $y=\dfrac{1}{2e}x^2$ と $y=\log_ex$ が接することがわかる。
解が唯一であることは $a$ が変化したときの $y=ax^2$ のグラフの挙動を考えれば明らか(上に凸と下に凸の図形だし)。

まぁ、普通に接点を $(p,q)$ とおいて $ap^2=\log p，2ap=\dfrac{1}{p}$ を解けば $p=\sqrt{e}，a=\dfrac{1}{2e}$ はすぐに得られる。

面積は普通に計算して $\displaystyle\int_0^{\sqrt{e}}\dfrac{x^2}{2e}dx-\int_1^{\sqrt{e}}\log x dx=\dfrac{2}{3}\sqrt{e}-1$

2022.05.02記

[解答]
$y=ax^2$ と $y=\log_e x$ の接点の $x$ 座標を $t$ とすると
$at^2=\log_e t$ ， $2at=\dfrac{1}{t}$ から $t=\sqrt{e}$ ， $a=\dfrac{1}{2e}$
となる．

求める面積は
$\displaystyle\int_0^{\sqrt{e}}\dfrac{x^2}{2e}dx-\int_1^{\sqrt{e}}\log_e xdx$
$=\dfrac{\sqrt{e}}{6}-\Bigl[x\log_e x-x\Bigr]_1^{\sqrt{e}}$
$=\dfrac{\sqrt{e}}{6}-\dfrac{\sqrt{e}}{2}-1=\dfrac{2\sqrt{e}}{3}-1$