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2020.09.29記
[1]
が正の定数，
が正の整数ならば，
において不等式
![ax^{n+1}+\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}\gt x](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=ax%5E%7Bn%2B1%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%7D%5Cgt%20x)
が成り立つことを証明せよ．
2020.09.29記
[うまい解答]
AM-
GM で
![ax^{n+1} + n\cdot\dfrac{1}{n\sqrt[n]{a}}](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%20ax%5E%7Bn%2B1%7D%20%2B%20n%5Ccdot%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%7D)
![\geqq (n+1)\sqrt[n+1]{\dfrac{x^{n+1}}{n^n}}](https://chart.apis.google.com/chart?cht=tx&chl=%5Cgeqq%20%28n%2B1%29%5Csqrt%5Bn%2B1%5D%7B%5Cdfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%5En%7D%7D)
であり，
より題意は成立する．
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