https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1965/Rika

2020.09.28記

[6] 右の図は半径の長さ1の半円で，弦 $\rm AP$ ， $\rm AQ$ と直径 $\rm AB$ とのつくる角はそれぞれ30°，60°である．このとき，弦 $\rm AP$ ， $\rm AQ$ と円弧 $\rm PQ$ とで囲まれる部分を直径 $\rm AB$ のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

[図]

本問のテーマ

カヴァリエリの原理(2020.09.28)
球の表面積は厚さに比例する(2020.09.28)

2020.09.28記
円の中心を $\rm O$ とすると，カバリエリの原理から弦 $\rm OP$ ， $\rm OQ$ と円弧 $\rm PQ$ で囲まれた部分を直径 $\rm AB$ のまわりに1回転して得られる立体の体積に等しい．

単位球から2つの球帽を除いた部分となるが，球の表面積は厚さに比例するので，刳り貫かれる部分の表面積は全体の半分となるので，球の体積の半分が刳り貫かれる．

よって求める体積は，単位球の半分となり $\dfrac{2\pi}{3}$

[大人の解答]
求める立体の球の表面にある部分は，球の厚さの半分の帯だから表面積も半分になる．よって求める体積は，単位球の半分となり $\dfrac{2\pi}{3}$