https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1964/Rika

2022.04.23記

[5] 曲線 $xy=1$ の第1象限の部分に定点 ${\rm P}(a,b)$ があり，同じ曲線の第3象限の部分に動点 ${\rm Q}$ がある．

(1) 線分 ${\rm QP}$ の長さの最小値を $a$ で表わせ．

(2) 線分 ${\rm QP}$ の長さが最小になるとき， ${\rm QP}$ が $x$ 軸の正の方向と $30^{\circ}$ の角をなすような $a$ の値を求めよ．

2022.04.23記

[解答]
(1) ${\rm P}(a,1/a)（a\gt 0）$ ， ${\rm Q}(x,1/x)$ とおき
$f(x)={\rm QP}^2=(x-a)^2+\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{a}\right)^2=(x-a)^2\left(1+\dfrac{1}{a^2x^2}\right)$
とおくと，
$f'(x)=\dfrac{2(x-a)}{x^3}\left(x^3+\dfrac{1}{a}\right)$
であるから， $x\lt 0$ における増減表は