1964年(昭和39年)東京大学-数学(理科)[1]

2022.04.23記

[1] $a$ ， $b$ ， $c$ を相異なる数， $x$ ， $y$ ， $z$ を連立方程式
$x+ay+a^2z=a^3, \quad x+by+b^2z=b^3, \quad x+cy+c^2z=c^3$
の根とするとき， $a^3+b^3+c^3$ を $x$ ， $y$ ， $z$ で表わせ．

2022.04.23記

[解答]
$t$ の3次方程式 $t^3-zt^2-yt-x=0$ の相異なる3解が $a,b,c$ だから
$a+b+c=z$ ， $ab+bc+ca=-y$ ， $abc=x$
である．よって
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)\{(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\}+3abc$
$=z(z^2+3y)+3x$ $=3x+3yz+z^3$

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