https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1962/Rika

2022.02.18記

[5] $1$ つの頂点から出る $3$ 辺の長さが $x$ ， $y$ ， $z$ であるような直方体において， $x$ ， $y$ ， $z$ の和が $6$ ，全表面積が $18$ であるとき，

(i) $x$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(ii) このような直方体の体積の最大値を求めよ．

2022.02.18記

[解答]
$x+y+z=6$ ， $xy+yz+zx=9$ であるから， $xyz=k$ とおくと
$x,y,z$ は $t$ の3次方程式 $t^3-6t^2+9t=k$ の3実数解である．

よって， $s=t^3-6t^2+9t$ と $s=k$ が重複度をこめて $t\gt 0$ なる交点が3つとなる条件をグラフから考察すると， $0\lt x\lt 3,3\lt x\leqq 4$ となり， $0\lt k \leqq 4$ となる．よって

(i) $0\lt x\lt 3,3\lt x\leqq 4$
(ii) $4$

である．