https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1962/Rika

2022.02.18記

[4] 無限級数 $\dfrac{r}{1-r^2}+\dfrac{r^2}{1-r^4}+\dfrac{r^4}{1-r^8}+\cdots\cdots+\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}+\cdots\cdots$ の和を求めよ．ただし $|r|\neq 1$ とする．

2022.02.18記
入試問題だから階差が $\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}$ となる数列が見つかるはず，と考える．

[解答]
$a_n=\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}$ ， $b_n=\dfrac{1}{1-r^{2^{n-1}}}$ とおくと
$b_{n+1}-b_n=\dfrac{1}{1-r^{2^n}}-\dfrac{1}{1-r^{2^{n-1}}}$ $=\dfrac{1-(1+r^{2^{n-1}})}{1-r^{2^n}}$ $=-a_n$
だから，
$\dfrac{r}{1-r^2}+\dfrac{r^2}{1-r^4}+\dfrac{r^4}{1-r^8}+\cdots\cdots+\dfrac{r^{2^{n-1}}}{1-r^{2^n}}=b_1-b_{n+1}$
が成立する．

ここで $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = \left\{\begin{array}{ll} 1 & |r|\lt 1, \\ 0 & |r|\gt 1 \end{array}\right.$
だから求める和は
$\left\{\begin{array}{ll} b_1-1=\dfrac{r}{1-r} & |r|\lt 1, \\ b_1-0=\dfrac{1}{1-r} & |r|\gt 1 \end{array}\right.$
となる．