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1962年(昭和37年)東京大学-数学(理科)[1]

2022.02.18記

[1] 2次方程式 $x^2-2x\log_ab+\log_ba=0$ が実根 $\alpha$ ， $\beta$ をもち， $0\lt \alpha\lt 1\lt \beta$ となるものとする．このとき $a$ ， $b$ ， $1$ の大きさの順序はどのようになるか．ただし $a$ ， $b$ はいずれも $1$ と異なる正の数とする．

2022.02.18記

[解答]
底と真数条件より $0\lt a\lt 1,1\lt a$ かつ $0\lt b\lt 1,1\lt b$ である．

$f(x)=x^2-2x\log_ab+\log_ba=0$ とおくと，
$f(0)\gt 0,f(1)\lt 0$
であるから，
$\log_ba\gt 0$ ， $1-2\log_ab+\log_ba\lt 0$
が成立する．後者に前者を適用すると
$(\log_ba)^2+(\log_ba)-2=\{\log_ba+2\}\{\log_ba-1\}\lt 0$
となるので，前者とあわせて
$0\lt \log_ba\lt 1$
となる．

$0\lt \log_ba$ から $(b-1)(a-1)\gt 0$ であり，
$\log_ba\lt 1$ から $0\lt \log_b\dfrac{b}{a}$ を経由して $(b-1)\left(\dfrac{b}{a}-1\right)\gt 0$ ，つまり $a\gt 0$ から
$(b-1)(b-a)\gt 0$ である．

以上から

(i) $b\gt 1,a\gt 1, b\gt a$ ，つまり $1\lt a\lt b$

または

(ii) $b\lt 1,a\lt 1, b\lt a$ ，つまり $b\lt a\lt 1$

となる．

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