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1961年(昭和36年)東京大学-数学(理科)[6]

2020.11.23記

[6] $a$ ， $b$ ， $c$ は定数であって，函数 $f(x)=a \sin x+b \cos x+c \sin 2x$ は $x=\dfrac{\pi}{4}$ において極大値 $6\sqrt{2}$ をとり，また $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)\cos x dx=5π$ である．このとき

(i) $a，b，c$ を求めよ．

(ii) $0\lt x\lt 2π$ の範囲で $f(x)$ を最小にする $x$ の値とそのときの $f(x)$ の値とを求めよ．

本問のテーマ

フーリエ級数展開

2020.11.23記

フーリエ級数展開

[大人の解答]
(i)(ii) フーリエ級数展開を考えると
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos x \cos x dx=\pi$ 以外は全部 $0$ になるので $b=5$
となる．また
$f\Bigl(\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=6\sqrt{2}$ ， $f'\Bigl(\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=0$ より $a=b，a+b+\sqrt{c}=12$
だから, $a=b=5，c=\sqrt{2}$ となる．

$f'(x)=0$ から $x=\dfrac{\pi}{4}，\dfrac{5\pi}{4}$ で増減表を書くと
$x=\dfrac{\pi}{4}$ のときに確かに極大となっており，また最小値は $x=\dfrac{5\pi}{4}$ のときの $-4\sqrt{2}$ となる．

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