https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1961/Rika

2020.11.23記

[3] あたえられた半径 $a$ の半球に外接する直円錐をつくり，その全表面積（側面積と底面積の和）をもっとも小さくするには，その高さをなにほどにすればよいか，ただし直円錐の底面は半球の底面とおなじ平面上にあるものとする．

2020.11.23記

[解答]
底面の半径が $r$ ，母線の長さが $l$ の円錐の表面積は $\pi r(r+l)$ であり，円錐の頂角を $\theta\in\Bigl(0,\dfrac{\pi}{2}\Bigr)$ とすると
$r=\dfrac{a}{\cos\theta}$ ， $l=\dfrac{a}{\sin\theta\cos\theta}$ だから
表面積 $S$ は
$S=\dfrac{a^2\pi}{\sin\theta(1-\sin\theta)}$
となり，これは $\sin\theta=\dfrac{1}{2}$ （ $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ）のときに最小となる．このとき高さは $2a$ となる．