https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1960/Suu_I_Daisu

2020.10.13記

[1] 三角形 $\rm ABC$ の辺 $\rm AB$ 上に点 $\rm P$ をとり， $\rm BP$ の中点を $\rm Q$ とする．つぎに， $\rm P$ ， $\rm Q$ から $\rm BC$ に平行線をひいて $\rm AC$ との交点をそれぞれ $\rm R，S$ とする．台形 $\rm PQSR$ の面積が最大となるときの $\rm AP$ の長さと台形 $\rm PQSR$ の面積を求めよ．ただし辺 $\rm AB$ の長さを $a$ ，三角形 $\rm ABC$ の面積を $s$ とする．

2020.10.13記
普通すぎてコメントなし

[1] ${\rm AB:PB}=1:2x$ とおくと、 $0\lt x\lt\dfrac{1}{2}$ であり，台形 $\rm PQSR$ の面積は $\{(1-x)^2-(1-2x)^2\}s=sx(2-3x)$ となる．

これは $x=\dfrac{1}{3}$ のとき最大値 $\dfrac{s}{3}$ をとる．このとき ${\rm AP}=\dfrac{a}{3}$ である．