1959年(昭和34年)東京大学-数学(旧課程)

【解析I】

[1] 平面上の点 に ， によって定まる点 を対応させる．

(i) 四点 ，，， を頂点とする長方形は，この対応によってどのような図形にうつるか．図をかいて説明せよ．ただし ， とする．

(ii) その図形の面積ともとの長方形の面積との比を求めよ．

[2] ， は実の定数で， である．このとき， を任意の正の数とすれば に関する二次方程式

は虚根をもつ．それらを ，（， は実数で ）とすれば， が正の範囲を動くとき点 はどのような曲線をえがくか．それを図示せよ．

[3] 井戸に小石を落としたところ，小石が水面に達した音が 秒後に聞こえた．

(i) 重力の加速度を ，音の速度を ，地面から水面までの距離を とするとき， を ，， で表わせ．ただし空気の抵抗は無視するものとする．

(ii) 音が伝わるのに要する時間を無視すれば， の近似値として が得られる．

このとき，相対誤差 が与えられた正数 より小さくなるためには， は ，， によって定まるある限界より小さくなければならない．この限界を求めよ．

【解析II】

[1] 時刻 における点 の位置 がつぎの方程式(i)，(ii)，(iii)，(iv)によって与えられている．各場合について， が から まで変わるとき点 のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ．

例

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

[2] ， を実の定数とするとき，定積分

を求めよ．また を最小にする ， の値を定めよ．

ただし を定数とするとき，

である．

[3] ， 平面上の点 を ，直線 を とする． を含み軸に垂直な平面上に， を中心とし と角 をなす長さ の線分 をとり，， から 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ ， とする．ねじれ四辺形 を 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．

【幾何】

[1] 二つの円弧 と が弦 の同じ側にあって，いずれも半円より大きいとする． を通る直線 が弧 ， と交わる点をそれぞれ ， とすれば， がどのような位置にあるとき線分 の長さが最大となるか．

[2] の内部に をとり，その三辺 ，， はそれぞれ
の三辺 ，， に平行で，対応する辺の間の距離はいずれも であるとする． の周が の周の であるとき， を ，， で表わせ．ただし ，， とする．

[3] 直方体の頂点を図のように ，，，，，，， とし辺の長さを ，， とする．

(i) 対角線 が平面 と交わる点を とするとき， を求めよ．

(ii) 四面体 の体積を求めよ．