https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1959/SuuIKika

2024.02.24記

[2] $\triangle\mbox{ABC}$ の内部に $\triangle\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ をとり，その三辺 $\mbox{A}'\mbox{B}'$ ， $\mbox{B}'\mbox{C}'$ ， $\mbox{C}'\mbox{A}'$ はそれぞれ
$\triangle\mbox{ABC}$ の三辺 $\mbox{AB}$ ， $\mbox{BC}$ ， $\mbox{CA}$ に平行で，対応する辺の間の距離はいずれも $h$ であるとする． $\triangle\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ の周が $\triangle\mbox{ABC}$ の周の $\dfrac{1}{2}$ であるとき， $h$ を $a$ ， $b$ ， $c$ で表わせ．ただし $a=\mbox{BC}$ ， $b=\mbox{CA}$ ， $c=\mbox{AB}$ とする．

2019.04.03記

[解答]
$\triangle\rm ABC$ と $\triangle\rm A'B'C'$ は相似であり周の長さが半分となることから相似比は $2:1$ となる．問題文のような位置関係のとき，相似の中心は内心となるので $h$ は $\triangle\rm ABC$ の内接円の半径 $r$ の半分に等しい． $\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると $r=\dfrac{2S}{a+b+c}$ であるから，ヘロンの公式により
$h=\dfrac{r}{2}$ $=\dfrac{S}{a+b+c}$ $=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{a+b+c}}$
となる．