https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1959/SuuIKika

2024.02.24記

[1] 二つの円弧 $\mbox{AC}_1\mbox{B}$ と $\mbox{AC}_2\mbox{B}$ が弦 $\mbox{AB}$ の同じ側にあって，いずれも半円より大きいとする． $\mbox{A}$ を通る直線 $l$ が弧 $\mbox{AC}_1\mbox{B}$ ， $\mbox{AC}_2\mbox{B}$ と交わる点をそれぞれ $\mbox{P}_1$ ， $\mbox{P}_2$ とすれば， $l$ がどのような位置にあるとき線分 $\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ の長さが最大となるか．

2024.11.10記

[解答]
円弧 $\mbox{AC}_1\mbox{B}$ ， $\mbox{AC}_2\mbox{B}$ を含む円をそれぞれ $O_1$ ， $O_2$ とする．

円周角の定理により $\angle\mbox{P}_2\mbox{P}_1\mbox{B}=\pi-\angle\mbox{AP}_1\mbox{B}$ ，
$\angle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{B}=\angle\mbox{AP}_1\mbox{B}$ は一定であるから， $\triangle\mbox{P}_1\mbox{P}_2\mbox{B}$ は常に相似な三角形となる．

よって， $\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ が最大となるのは， $\mbox{P}_2\mbox{P}_B$ が円 $O_2$ の直径となるときであり，このとき $\mbox{P}_1\mbox{P}_B$ が円 $O_1$ の直径となる．

このとき， $l$ は $\rm AB$ に垂直である．

座標にも載せておこう．

[別解]
$\mbox{A}(0，0)$ ， $\mbox{B}(2，0)$ とし，2つの円を
$(x-1)^2+(y-p)^2=1+p^2$ ，
$(x-1)^2+(y-q)^2=1+q^2$ （ $p\lt q$ ）
とする．

(i) $l$ を $y=mx$ とおくと
$(1+m^2)x^2-2(1+pm)x=0$
から $\mbox{P}_1$ の $x$ 座標は $\dfrac{2(1+pm)}{1+m^2}$ となり，同様に $\mbox{P}_2$ の $x$ 座標は $\dfrac{2(1+pm)}{1+m^2}$ となる．
よって
$\mbox{P}_1\mbox{P}_2{}^2$ $=(1+m^2)\cdot \left(\dfrac{2(q-p)m}{1+m^2}\right)^2$ $=4(q-p)^2\left(1-\dfrac{1}{1+m^2}\right)\lt 4(q-p)^2$
である．

(ii) $l$ を $x=0$ とおくと $\mbox{P}_1(0，2p)$ ， $\mbox{P}_2(0，2q)$ であるから， $\mbox{P}_1\mbox{P}_2{}^2$ $=4(q-p)^2$ である．

以上から， $l$ が $x=0$ ，つまり $l$ が $\rm AB$ に垂直であるとき $\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ は最大となる．