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1959年(昭和34年)東京大学-数学【数学II】(新課程)[1]

2024.02.24記

[1] 時刻 $t$ における点 $\mbox{P}$ の位置 $(x，y)$ がつぎの方程式(i)，(ii)，(iii)，(iv)によって与えられている．各場合について， $t$ が $0$ から $2\pi$ まで変わるとき点 $\mbox{P}$ のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ．

例
$\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=t-\dfrac{1}{2}gt^2 \end{array} \right.$ $(0\leqq t\leqq\dfrac{2}{g})$

(i) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=2\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right) \end{array}\right.$

(ii) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=\cos(t+\pi) \end{array}\right.$

(iii) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=\cos 2t \end{array}\right.$

(iv) $\left\{\begin{array}{l} x=\cos t \\ y=2\cos\left(2t+\dfrac{\pi}{2}\right) \end{array}\right.$

2024.11.10記

[解答]
(i) $x=\cos t$ ， $y=-2\sin t$ であるから，楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ を $(1，0)$ から時計回りに1周する．

(ii) $x=\cos t$ ， $y=-\cos t=-1$ であるから $(1，-1)$ と $(-1，1)$ を結ぶ線分を $(1，-1)$ から出発して一往復する．

(iii) $x=\cos t$ ， $y=\cos 2t=2\cos^2t-1=2x^2-1$ であるから，放物線 $y=x^2-1$ の $(1，1)$ と $(-1，1)$ を結ぶ弧を $(1，1)$ から出発して一往復する．

(iv) $x=\cos t$ ， $y=-\sin 2t$ であるから， $\dfrac{dx}{d\theta}=-\sin\theta$ ， $\dfrac{dy}{d\theta}=-2\cos 2\theta$ となり，増減表は次表のようになる．

$\theta$

$0$

$\cdots$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\cdots$

$\dfrac{3}{4}\pi$

$\cdots$

$\pi$

$\cdots$

$\dfrac{5}{4}\pi$

$\cdots$

$\dfrac{7}{4}\pi$

$\cdots$

$2\pi$

$\dfrac{dx}{d\theta}$

$0$

$-$

$-$

$-$

$-$

$-$

$0$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$0$

$\dfrac{dy}{d\theta}$

$-$

$-$

$0$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$+$

$0$

$-$

$-$

$(x,y)$

$(1,0)$

$\swarrow$

$(\frac{1}{\sqrt{2}},-1)$

$\nwarrow$

$(-\frac{1}{\sqrt{2}},1)$

$\swarrow$

$(-1,0)$

$\searrow$

$(-\frac{1}{\sqrt{2}},-1)$

$\nearrow$

$(\frac{1}{\sqrt{2}},1)$

$\searrow$

$(1,0)$

よって求めるグラフは

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