https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1959/SuuIII

2024.02.24記

[2] $x$ ， $y$ 平面上の点 $(0，a)$ を $\mbox{P}$ ，直線 $y=a$ を $g$ とする． $g$ を含み $y$ 軸に垂直な平面上に， $\mbox{P}$ を中心とし $g$ と角 $60^{\circ}$ をなす長さ $2b$ の線分 $\mbox{AB}$ をとり， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ とする．ねじれ四辺形 $\mbox{ABDC}$ を $x$ 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．

2024.11.11記
体積を知るには断面積だけ知れば十分で立体の形状がわからなくても良い訳だが，求める立体の表面が一葉双曲面になることを利用して解く方法も見ておこう．

[大人の解答]
$\mbox{B}\left(\dfrac{1}{2}b，a，\dfrac{\sqrt{3}}{2}b\right)$ である． $\mbox{BD}\perp\mbox{OD}$ から， $\rm D$ の $x$ 座標は $\rm B$ の $x$ 座標と等しいので， $\mbox{D}\left(\dfrac{1}{2}b，0，0\right)$ となる．

直線 $\rm AB$ を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる一葉双曲面と $x=-\dfrac{1}{2}b$ ， $x=\dfrac{1}{2}b$ で囲まれる部分の体積を求めれば良い．ここで $\rm OP$ が $x$ 軸と $\rm AB$ の共通垂線となることから，一葉双曲面は頂点が $\rm P$ である双曲線を回転させたものとなるので，一葉双曲面の方程式を
$\dfrac{y^2+z^2}{p^2}-\dfrac{x^2}{q^2}=1$ （ $p，q\gt 0$ ）
とおくことができる．この一葉双曲面が $\rm P，B$ を通ることと， $\mbox{DB}=\sqrt{a^2+\dfrac{3}{4}b^2}$ であることから，
$\dfrac{a^2}{p^2}=1$ ， $\dfrac{a^2+\dfrac{3}{4}b^2}{p^2}-\dfrac{\dfrac{1}{4}b^2}{q^2}=1$
となり，一葉双曲面の方程式は
$\dfrac{y^2+z^2}{a^2}-\dfrac{3x^2}{a^2}=1$
となる．この $x=t$ （ $-\dfrac{1}{2}b\leqq t\leqq \dfrac{1}{2}b$ ）における断面積は $y^2+z^2=a^2+3t^2$ から $\pi (a^2+3t^2)$ であるから，求める体積は
$2\pi \displaystyle\int_0^{b/2} (a^2+3t^2)\, dt$ $=2\pi \Bigl[ a^2 t+t^3\Bigr]_0^{b/2}$ $=\dfrac{\pi b}{4} ( 4a^2 +b^2)$
となる．

ちょっと大袈裟にやってみたが，結局のところ一葉双曲面であることはどうでも良くて， $x$ 軸上の点 $(t，0，0)$ と一番近い直線 $\rm AB$ 上の点を求めれば良い．

[解答]
$x$ 軸上の点 $\mbox{H}(t，0，0)$ と一番近い直線 $\rm AB$ 上の点は $\mbox{Q}(t，a，\sqrt{3}t)$ であるから，求める立体の $x=t$ における断面積は $\pi \mbox{QH}^2=\pi (a^2+3t^2)$ であるから，求める体積は
$2\pi \displaystyle\int_0^{b/2} (a^2+3t^2)\, dt$ $=2\pi \Bigl[ a^2 t+t^3\Bigr]_0^{b/2}$ $=\dfrac{\pi b}{4} ( 4a^2 +b^2)$
となる．

では，

ねじれ四辺形 $\mbox{ABDC}$ を $y$ 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．

ならばどうだろうか．

[解答]
$\mbox{B}\left(\dfrac{1}{2}b，a，\dfrac{\sqrt{3}}{2}b\right)$ である． $\mbox{BD}\perp\mbox{OD}$ から， $\rm D$ の $x$ 座標は $\rm B$ の $x$ 座標と等しいので， $\mbox{D}\left(\dfrac{1}{2}b，0，0\right)$ となる．

直線 $\rm DB$ 上の点を $\left(\dfrac{1}{2}b，at，\dfrac{\sqrt{3}}{2}bt\right)$ と表すことができるので，
$y=at$ における断面積は
$\pi \left(\dfrac{1}{4}b^2+\dfrac{3}{4}b^2t^2\right)=\dfrac{\pi b^2}{4}(1+3t^2)$
となり，求める体積は $dy=a\cdot dt$ に注意して
$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\pi b^2}{4}(1+3t^2)\, a\cdot dt$ $=\dfrac{\pi ab^2}{4} \Bigl[t+t^3\Bigr]_0^1$ $=\dfrac{\pi ab^2}{2}$
となる．

直線 $\rm AC$ を $y$ 軸のまわりに180度回転したものが直線 $\rm BD$ であるから，直線 $\rm BD$ を $y$ 軸のまわりに1回転して得られる一葉双曲面と $y=0$ ， $y=a$ で囲まれる部分の体積を求めれば良い．

ここで， $\rm BD$ と $y$ 軸の最短距離は，共通垂線 $\rm OD$ で得られることに注意すると，一葉双曲面は
$\dfrac{x^2+z^2}{p^2}-\dfrac{y^2}{q^2}=1$ （ $p，q\gt 0$ ）
とおくことができ， $\rm B，D$ を通ることから
$\dfrac{(b/2)^2}{p^2}=1$ ， $\dfrac{b^2}{p^2}-\dfrac{a^2}{q^2}=1$
となり，一葉双曲面は
$\dfrac{x^2+z^2}{(b/2)^2}-\dfrac{y^2}{(a/\sqrt{3})^2}=1$
となる．この $y=t$ （ $0\leqq t\leqq a$ ）における断面積は
$x^2+z^2=\dfrac{b^2}{4}\left(1+\dfrac{3k^2}{a^2}\right)$
から $\pi \dfrac{b^2}{4}\left(1+\dfrac{3k^2}{a^2}\right)$ であるから，求める体積は
$\displaystyle\int_0^a\pi \cdot \dfrac{b^2}{4}\left(1+\dfrac{3k^2}{a^2}\right)\, dk$
$=\dfrac{\pi b^2}{4}\Bigl[ k+\dfrac{k^3}{a^2}\Bigr]_0^a$ $=\dfrac{\pi ab^2}{2}$ となる．