https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1959/SuuIII

2024.02.24記

[1] $a$ ， $b$ を実の定数とするとき，定積分
$\mbox{I}(a，b)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(1-a\sin x-b\sin 2x)^2\,dx$
を求めよ．また $\mbox{I}(a，b)$ を最小にする $a$ ， $b$ の値を定めよ．

2019.04.03記

[大人の解答]
（ $\mbox{I}(a，b)$ の最小値とそれを与える $a，b$ について）
符号関数 $\mbox{sgn}\, x$ を用いて $\displaystyle 2I(a,b)=\int_{-\pi}^{\pi}(\mbox{sgn}\, x-a\sin x-b\sin 2x)^2\,dx$ とかけるので，フーリエ級数展開の理論を用いると
$\displaystyle a=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\mbox{sgn}\, x \sin x dx=\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}1\cdot \sin x dx=\dfrac{4}{\pi}$ ， $\displaystyle b=\dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\mbox{sgn}\, x \sin 2x dx=\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}1\cdot \sin 2x dx=0$ となる．

このとき
$\mbox{I}(a，b)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(1-\dfrac{4}{\pi}\sin x\right)^2\,dx$ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(1-\dfrac{8}{\pi}\sin x+\dfrac{16}{\pi^2}\sin^2 x\right)\,dx$ $=\pi -\dfrac{8}{\pi}\cdot 2 +\dfrac{16}{\pi^2}\cdot \dfrac{\pi}{2}$ $=\pi +\dfrac{8}{\pi}$
となる．

一般に， $\displaystyle \mbox{sgn}\, x=\dfrac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{2n-1} \sin (2n-1)x$ である。

なお， $0$ でない整数 $m，n$ に対して $\displaystyle \int_0^{\pi} \sin mx \sin nx dx=\dfrac{\pi}{2}\delta_{mn}$ であることを利用すると $I(a,b)=\dfrac{\pi}{2}(a^2+b^2+2)-4a$ であることがわかる．

2024.11.10記

[解答]
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin x\, dx=2$ （記憶の範囲内だが $\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi}=1-(-1)=2$ ），
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^2 x\, dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}{2}\, dx=\dfrac{\pi}{2}$ ，
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin 2x\, dx=0$ （ $\sin$ の1周期の積分だから $0$ ）
$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin^2 2x\, dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin^2 2x+\cos^2 2x}{2}\, dx=\dfrac{\pi}{2}$ ，
$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin x \sin 2x dx= \Bigl[\dfrac{2}{3}\sin^3 x\Bigr]_0^{\pi}=0$
であるから，
$\mbox{I}(a，b)$ $=\pi+a^2\cdot \dfrac{\pi}{2}+b^2\cdot \dfrac{\pi}{2}-2a\cdot 2 -2b\cdot 0 +2ab\cdot 0$ $=\dfrac{\pi}{2}(a^2+b^2+2)-4a$ $=\dfrac{\pi}{2}\left(a-\dfrac{4}{\pi}\right)^2+\dfrac{\pi}{2}b^2+\pi-\dfrac{8}{\pi}$
となり， $a=\dfrac{4}{\pi}，b=0$ で最小となる．