https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1959/SuuIDaisu

2024.02.24記

[2] 井戸に小石を落としたところ，小石が水面に達した音が $t$ 秒後に聞こえた．

(i) 重力の加速度を $g\,\mbox{m/秒}^2$ ，音の速度を $c\,\mbox{m/秒}$ ，地面から水面までの距離を $d\,\mbox{m}$ とするとき， $d$ を $g$ ， $c$ ， $t$ で表わせ．ただし空気の抵抗は無視するものとする．

(ii) 音が伝わるのに要する時間を無視すれば， $d$ の近似値として $d'=\dfrac{1}{2}gt^2$ が得られる．

このとき，相対誤差 $\dfrac{d'-d}{d}$ が与えられた正数 $\alpha$ より小さくなるためには， $t$ は $g$ ， $c$ ， $\alpha$ によって定まるある限界より小さくなければならない．この限界を求めよ．

2024.11.09記

[解答]
(i) 小石が水面に達するまでの時間を $t_1$ 秒，小石が水面に達した音が届くのにかかる時間を $t_2$ 秒とすると，
$d=\dfrac{1}{2}gt_1^2=ct_2$
が成立する．よって
$t=t_1+t_2=\sqrt{\dfrac{2d}{g}}+\dfrac{d}{c}$
となり， $\sqrt{d}$ の2次方程式 $\sqrt{g}(\sqrt{d})^2+\sqrt{2}c(\sqrt{d})-\sqrt{g}c t=0$ が得られる．よって $\sqrt{d}\geqq 0$ から $\sqrt{d}=\dfrac{-\sqrt{2}c+\sqrt{2c^2+4gct}}{2\sqrt{g}}$ となり，
$d=\dfrac{c^2-c\sqrt{c^2+2gct}+gct}{g}$
となる．

(ii) 音が伝わるのに要する時間を無視することにより， $d'$ は $d$ より大きくなる．
よって $\dfrac{d'}{d}\lt 1+\alpha$ を満たせば良く，つまり
$\dfrac{\sqrt{d}}{\sqrt{d'}}\gt\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha}}$
を満たせば良い．
$\dfrac{\sqrt{d}}{\sqrt{d'}}$ $=\dfrac{\sqrt{c^2+2gct}-c}{gt}$ $\gt\dfrac{1}{\sqrt{1+\alpha}}$
から
$\sqrt{1+\alpha}\sqrt{c^2+2gct}\gt gt+c\sqrt{1+\alpha}$
を経て
$g^2t\left(t-\dfrac{2c}{g}(1+\alpha-\sqrt{1+\alpha})\right)\lt 0$
から
$0\lt t\lt \dfrac{2c}{g}(1+\alpha-\sqrt{1+\alpha})$
となる．よって限界は $\dfrac{2c}{g}(1+\alpha-\sqrt{1+\alpha})$ となる．