https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1958/Kaiseki_II

2020.10.25記

[1] 平面上に点列 ${\rm P}_0$ ， ${\rm P}_1$ ，……， ${\rm P}_n$ ，…… があって，点 ${\rm P}_n$ の座標 $(x_n，y_n)$ と点 ${\rm P}_{n+1}$ の座標 $(x_{n+1}，y_{n+1})$ の間に
$\left\{ \begin{array}{l} x_{n+1}=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3} y_n \\ y_{n+1}=\dfrac{1}{3}x_n+\dfrac{2}{3} y_n \end{array} \right.$
（ $n=0，1，2，\ldots$ ）
という関係があるとする． $n$ が限りなく増すとき，点 ${\rm P}_n$ はどのような点に近づくか，この点の座標 $(x，y)$ を $x_0，y_0$ で表わせ．

2020.10.25記
冪乗法
確率行列は固有値1をもち，その固有ベクトルとして全ての成分が1のベクトルがとれる
実対称行列は直交行列で対角化できる
対称行列のスペクトル分解
etc.

[解答]
$A=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ とおき， $\vec{x}_n=\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ とおくと　 $\vec{x}_{n+1}=A\vec{x_n}$ から帰納的に　 $\vec{x}_n=A^{n}\vec{x}_0$ が成立する．

$A$ の固有値 $1$ に対する固有ベクトルは $\vec{p}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ であり，固有値 $\dfrac{1}{3}$ に対する固有ベクトルは $\vec{q}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である．

$\vec{x}_0=\dfrac{x_0+y_0}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\dfrac{x_0-y_0}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ であるから，

$\vec{x}_n=\dfrac{x_0+y_0}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\dfrac{x_0-y_0}{2\cdot 3^n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となり，極限は

$\vec{x}_{\infty}=\dfrac{x_0+y_0}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$ となり，
極限は $\Bigl(\dfrac{x_0+y_0}{2}，\dfrac{x_0+y_0}{2}\Bigr)$

まぁ，当時は行列は範囲外だったので，連立漸化式を足して引いてで

[解答]
$x_{n+1}+y_{n+1}=x_n+y_n=x_0+y_0$ ， $x_{n+1}-y_{n+1}=\dfrac{1}{3}(x_n-y_n)=\dfrac{1}{3^{n+1}}(x_0-y_0)$ であるから，極限において，
$x+y=x_0+y_0$ ， $x-y=0$
が成立する．

よって， $(x，y)=\Bigl(\dfrac{x_0+y_0}{2}，\dfrac{x_0+y_0}{2}\Bigr)$