https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1957/Kika

2022.02.13記

[2] 頂点がそれぞれ $45^{\circ}$ ， $60^{\circ}$ ， $75^{\circ}$ で外接円の半径が $r$ であるような三角形の面積を求めよ．

2022.02.18記
外接円の半径は $\dfrac{abc}{4S}$

[解答]
三角定規を並べることにより，3辺の長さを $2k,\sqrt{6}k,(\sqrt{3}+1)k$ とおくことができる。

この三角形の高さは $\sqrt{3}k$ だから面積は $\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)k^2$ であり，外接円の半径は $R=\dfrac{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)k^3}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)k^2}=\sqrt{2}k$ である。

よって面積を外接円の半径で表すと $\dfrac{3+\sqrt{3}}{4}r^2$ となる．

もちろん外接円の半径を正弦定理 $2R=\dfrac{2a}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{6}a}{\sin 60^{\circ}}$ から求めても良い。