https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1957/Kaiseki_II

2022.02.13記

[1] 時刻 $t$ における2 点 ${\rm P}(x，y)，{\rm P}′(x′，y′)$ の座標が
$\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=20t-4t^2\end{array}\right.\quad$ $\left\{\begin{array}{l}x'=5-t \\ y'=h\end{array}\right.$
という関係式によって与えられているとき，この2 点間の距離が最小となる時刻を求めよ．

2022.02.13記
最小となる時刻のみ聞かれていて，最小値は聞かれていない．

[解答]
$({\rm PP}')^2=(2t-5)^2+(20t-4t^2-h)^2$ $=(2t-5)^2+\{(2t-5)^{2}+h-25\}^2$
だから $X=(2t-5)^2$ （ $\geqq 0$ ）とおくと
$({\rm PP}')^2=X^2+(2h-49)X+(h-25)^2$ $=\left\{X+\dfrac{2h-49}{2}\right\}^2+(h-25)^2-\dfrac{(2h-49)^2}{4}$
となるので，

(i) $h\geqq \dfrac{49}{2}$ のとき， $X=0$ ，つまり $t=\dfrac{5}{2}$ で最小

(ii) $h\lt \dfrac{49}{2}$ のとき， $X=\dfrac{49-2h}{2}$ のとき，つまり
$t=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49-2h}{8}}$ で最小となる．