1957年(昭和32年)東京大学-数学(解析ＩＩ)

[1] 時刻 における2 点 の座標が

という関係式によって与えられているとき，この2 点間の距離が最小となる時刻を求めよ．

[2] 水を満たした半径r の球状の容器の最下端に小さな穴をあける．水が流れ始めた時刻を として時刻 から時刻 までに，この穴を通って流出した水の量を ，時刻 における穴から水面までの高さを としたとき， の導関数 と との間に
（は正の定数）
という関係があると仮定する（ただし，水面はつねに水平に保たれているものとする）．水面の降下する速さが最小となるのは， がどのような値をとるときであるか，また水が流れ始めてからこのときまでに要する時間を求めよ．

[3] 右の図のように基盤の目の形に並んでいる 個の点から，同一直線上にない 個の点を選んで，それらを頂点とする三角形を作る．全部でいくつの三角形ができるか．

［図］