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1956年(昭和31年)東京大学-数学(幾何)[3]

2022.02.11記

[3] 平面上の直交軸に関して，座標 $(1，0)$ ， $(0，3)$ ， $(−1，2)$ をもつ $3$ 点を頂点とする三角形を， $y$ 軸のまわりに回転して生ずる立体の体積を求めよ．

本問のテーマ

パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の定理

2022.02.11記
中学入試レベル。最近は中学入試でもパップスギュルダンを教えている。

[大人の解答]
${\rm A}(1,0)$ ， ${\rm B}(0,3)$ ， ${\rm C}(-1,2)$ とする． $\rm AC$ と $y$ 軸の交点を ${\rm D}(0,1)$ ， $\rm C$ の $y$ 軸に関する対称点を ${\rm E}(1,2)とし， [tex:\rm DE$ と $\rm AB$ の交点を ${\rm F}(1/2,3/2)$ とする。

このとき， $\triangle\rm ADF$ の面積は $\dfrac{1}{2}$ で重心の $x$ 座標は $\dfrac{1}{2}$ ， $\triangle\rm BDE$ の面積は $1$ で重心の $x$ 座標は $\dfrac{1}{3}$ だからパップス・ギュルダンの定理により，
$2\pi\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+1\cdot\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{7}{6}\pi$

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